Искривленный мир

Вернемся снова к вопросу о геометрии мирового прост­ранства. Можем ли мы описывать геометрические фигуры, построенные (мысленно) в мировом пространстве с помо­щью геометрии Евклида, или здесь необходимо применять геометрию Лобачевского либо Римана? Евклидова геомет­рия нам хорошо известна из школьного курса. В этой гео­метрии утверждается, например, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, а длина окружности равна 2Пr, где r — радиус этой окружности. Геометрия Римана и Лобачевского не содержит таких утверждений. Казалось бы, выбор геометрии в принципе не сложен. Для этого нужно «только» измерить геометрические фигуры в кос­мическом пространстве и установить, отвечают ли резуль­таты измерений евклидовой геометрии или нет. Если бы можно было, например, построить окружность гигантских (космических) размеров с радиусом R и измерить ее дли­ну, то сразу же можно бы сделать выводы о геометриче­ских свойствах пространства. Если бы длина такой окруж­ности оказалась равной 2ПR, то мы смогли бы утверждать, что в мировом пространстве справедлива геометрия Евкли­да. Если бы длина окружности оказалась больше или меньше 2ПR, то мы смогли бы сделать заключение, что в мировом пространстве справедлива геометрия, отличная от евклидовой. Остановимся на проблеме измерения длины окружности.

Вернемся снова к вопросу о геометрии мирового прост­ранства. Можем ли мы описывать геометрические фигуры, построенные (мысленно) в мировом пространстве с помо­щью геометрии Евклида, или здесь необходимо применять геометрию Лобачевского либо Римана? Евклидова геомет­рия нам хорошо известна из школьного курса. В этой гео­метрии утверждается, например, что сумма внутренних углов треугольника равна 180°, а длина окружности равна 2Пr, где r — радиус этой окружности. Геометрия Римана и Лобачевского не содержит таких утверждений. Казалось бы, выбор геометрии в принципе не сложен. Для этого нужно «только» измерить геометрические фигуры в кос­мическом пространстве и установить, отвечают ли резуль­таты измерений евклидовой геометрии или нет. Если бы можно было, например, построить окружность гигантских (космических) размеров с радиусом R и измерить ее дли­ну, то сразу же можно бы сделать выводы о геометриче­ских свойствах пространства. Если бы длина такой окруж­ности оказалась равной 2ПR, то мы смогли бы утверждать, что в мировом пространстве справедлива геометрия Евкли­да. Если бы длина окружности оказалась больше или меньше 2ПR, то мы смогли бы сделать заключение, что в мировом пространстве справедлива геометрия, отличная от евклидовой. Остановимся на проблеме измерения длины окружности.
 
измерения длины окружности
Рис. 50.
 
На рис. 50 изображена окружность радиуса r. Предполо­жим, что эта окружность неподвижна относительно какой-то инерциальной системы. Пусть в центре А окружности находятся два наблюдателя: один из них неподвижен отно­сительно окружности, а другой вращается с угловой скоро­стью со. Если мы спросим первого наблюдателя, то он без колебаний скажет, что радиус ок­ружности равен r, а длина ее состав­ляет 2Пr. Как оценит длину окруж­ности наблюдатель, который враща­ется с угловой скоростью w? По отно­шению к нему все точки окружности движутся со скоростью ѵ = wr. Так как каждый небольшой отрезок ок­ружности длиной l движется с ли­нейной  скоростью wr,   то,  соглас­ но формуле (4), длина этого отрезка, измеренная им, будет равна
Искривленный мир
Каждый небольшой отрезок окружности будет сокра­щаться в
Искривленный мир
раз, значит, во столько же раз должна сократиться и вся окружность. Длина окружности для наблюдателя, который вращается, будет равна

Искривленный мир

В то же время длина радиуса окружности (перпендику­лярного направлению вращения) не будет изменяться и останется равной r. Таким образом, для определения длины окружности по ее радиусу выводы евклидовой геометрии оказываются несправедливыми. По мнению наблюдателя, который вращается, евклидова геометрия непригодна для описания пространства, с его точки зрения пространство не является евклидовым.
Приведенное рассуждение весьма приближенно, но, не­смотря на это, оно указывает на факт непригодности евкли­довой геометрии в неинерциальных системах. С другой сто­роны, в предыдущих параграфах мы видели, что неинерци-альность системы отсчета проявляется в виде силы, кото­рую мы в небольшой области пространства и в течение ко­роткого промежутка времени не можем отличить от силы тяжести. Вместо того, чтобы говорить о неинерциальной системе отсчета, мы можем говорить об инерциальной си­стеме, в которой действует сила тяжести. Отсюда следует, что существование в пространстве гравитационного поля обусловливает неевклидовость пространства. Чем сильнее гравитационное поле в рассматриваемой области простран­ства, тем больше геометрия этой области отличается от евклидовой.
В мировом пространстве имеется гравитационное поле, следовательно, оно не будет евклидовым. Пространство с геометрией, отличающейся от евклидовой, называется «ис­кривленным пространством». Реальное мировое пространст­во искривлено. Как мы должны понимать это выражение?
В своей книге «Эволюция физики» А. Эйнштейн и  Л. Инфельд иллюстрируют кривое пространство следую­щим рассуждением.
Каждый видел на киноэкране движущихся людей. Это двумерные люди, так как их размеры определяются только длиной и шириной; третье же измерение, которое имеется у настоящих людей, у них отсутствует. Предполо­жим теперь, что эти двумерные люди, движущиеся на экране, действительно существуют: они ходят на экране, дума­ют и изучают все окружающее. Пространство, где живут эти люди, — двумерный экран, вне которого они никоим об­разом не могут осуществлять наблюдений. Люди двумерно­го экрана не могут представить себе трехмерный мир. Эти люди знают, что такое кривые линии? — такие линии на экране есть, но они не могут представить искривленной по­верхности. Осуществляя измерения различных геометриче­ских образов, они будут убеждены, что в мире действуют именно такие геометрические законы, которые составляют предмет планиметрии. Другими словами, их пространство будет двумерным евклидовым пространством.
Пусть экран будет изготовлен из эластичного материа­ла, так что мы можем его растягивать, превращая из плос­кости в кривую поверхность. Воображаемые люди на эк­ране такой деформации непосредственно не заметят, но различные их измерения покажут, что законы геометрии для них уже не будут законами обычной планиметрии. Так, например, сумма внутренних углов треугольника бу­дет больше 180°. Двумерные люди могут с полным пра­вом утверждать, что их мир больше не евклидов, потому что находящиеся в нем тела обладают иными? свойствами, чем образы евклидовой геометрии.

Если экран, на котором живут наши воображаемые лю­ди, будет очень большим, то может случиться, что кривизна небольшого участка экрана практически не будет заметна (так, например, мы не считаем искривленным небольшой участок земной поверхности). Двумерные люди долгое вре­мя будут убеждены, что их мир плоский. Только по мере изучения исключительно больших участков «экрана» они смогут убедиться, что их мир все-таки искривлен. Однакоэта кривизна так мала, что при изучении небольших ку­сочков экрана она останется незамеченной.
Наше положение весьма сходно с тем, в котором нахо­дятся люди экрана. Разница состоит только в том, что мы сами и наше пространство не двумерны, а трехмерны. Как двумерные люди не могли наглядно представить кривизну своего пространства, так не можем сделать этого и? мы. Кривизна пространства выражается лишь в том, что пост­роенные в нем геометрические фигуры нужно рассчитывать по законам неевклидовой геометрии, поскольку обычная евклидова геометрия дает результаты, не согласующиеся с действительностью.
 
Часть поверхности с отрицательной кривизной

Рис. 51. Часть поверхности с отрицательной кривизной. Сумма внутренних углов тре­угольника, начерченного на такой поверхности, меньше 180°

 
Кривые поверхности можно характеризовать их кривиз­ной. Математики показали, что можно пользоваться также и понятием кривизны пространства. Если кривизна прост­ранства равна нулю, то мы имеем дело с пространством, в котором справедливы теоремы евклидовой геометрии. В этом случае говорят, что мы имеем дело с плоским прост­ранством. Искривленные пространства делят на две груп­пы: пространства с положительной и пространства с отри­цательной кривизной (рис. 51). Каждое из них имеет свои особенности.
 
Геометрия простран­ства нулевой кривизны
 
Рис. 52. Геометрия простран­ства нулевой кривизны. Через заданную точку А можно про­вести по отношению к прямой s только одну параллельную прямую
 
Из школьного курса геометрии мы знаем, например, аксио­му: через точку А, іне лежащую на прямой s, можно провести одну и только одну прямую, которая, находясь в одной плоскости с прямой s, не пересекает ее (рис. 52). Для пространства с отри­цательной кривизной существует совсем иная аксиома: через точку A, расположенную вне прямой s, можно провести по мень­шей мере две прямые, которые лежат в одной плоскости с пря­мой s, но не пересекают последней (вслед за тем можно уже доказать, что в действительности таких прямых будет бесконеч­ное множество). Это значит, что в пространстве с отрицательной кривизной через А можно провести бесконечное количество пря­мых, параллельных прямой s. Интересно отметить, что Я. Больяй, исходя именно из этой, так называемой аксиомы о параллельных прямых, построил свою неевклидову геометрию (рассуждения в теории Лобачевского были аналогичными).
Аксиому Евклида невозможно проверить практически: ведь мы не можем проследить бесконечные прямые на всем их протя­жении. Больяй сделал предположение, что через точку А проходят по меньшей мере две различные прямые, обе параллельные данной прямой, и надеялся, что это приведет его к противоречиям в гео­метрических рассуждениях. Тогда евклидова аксиома была бы дока­зана (и тем самым превратилась бы уже в теорему). Но резуль­тат получился совершенно неожиданным. Больяй доказывал одну теорему за другой и нигде не встречал противоречия. И тогда он понял, что доказанные теоремы образуют новую, лишенную внут­ренних противоречий геометрическую систему, которая отлича­ется от евклидовой геометрии. Так появилась геометрия прост­ранства с отрицательной кривизной.
Аналогично может быть построена и геометрия пространства с положительной кривизной. Для этого рассмотренную аксиому нужно заменить следующей: каждая прямая, расположенная в одной плоскости с прямой s, пересекает последнюю. Это значит, что через точку А нельзя провести ни одной прямой, параллель­ной s.